Giovanni Canestri urodził się 30 września 1918 w miejscowości Castelspina w Piemoncie w północnych Włoszech (diecezja Alessandria). Jego brat Carlo był również kapłanem - wikariuszem tej diecezji. Przyszły kardynał już mając 11 lat wstąpił do seminarium w Alessandrii, a następnie studiował na uczelniach papieskich i państwowych w Rzymie. Święcenia kapłańskie przyjął 12 kwietnia 1941 (razem m.in. z innym późniejszym kardynałem Salvatore Pappalardo) w bazylice św. Jana na Lateranie w Rzymie.

Pracował następnie duszpastersko w parafiach stolicy Włoch i kontynuował studia, m.in. na Uniwersytecie Laterańskim, uzyskując licencjat z teologii i doktorat z prawa kanonicznego. Wykładał też w swym dawnym Papieskim Rzymskim Seminarium Wyższym, a w diecezji zajmował się zwłaszcza duszpasterstwem i wychowaniem młodzieży.

8 lipca 1961 św. Jan XXIII mianował go biskupem pomocniczym diecezji rzymskiej (sakry udzielił mu 30 tegoż miesiąca kard. Luigi Traglia, który 20 lat wcześniej wyświęcił go na kapłana). Brał udział w Soborze Watykańskim II, na którym wypowiadał się głównie na temat wolności religijnej i ekumenizmu. Pełnił różne stanowiska w Rzymie, m.in. był delegatem biskupim ds. Włoskiej Akcji Katolickiej w tej diecezji i działał na rzecz formacji świeckich.

7 stycznia 1971 bł. Paweł VI powołał go na biskupa Tortony, skąd 8 lutego 1975 wezwał go ponownie do Rzymu, mianując go wiceregensem tej diecezji i obdarzając godnością arcybiskupa tytularnego.

22 marca 1984 św. Jan Paweł II przeniósł go do Cagliari, gdzie abp Canestri rozwinął bardzo ożywioną działalność duszpasterską w zakresie budzenia nowych powołań, uaktywniania świeckich, dialogu ze światem pracy i służby ubogim. W październiku 1985 gościł w archidiecezji papieża. Ale już w 3 lata później - 6 lipca 1987 Ojciec Święty przeniósł go do archidiecezji genueńskiej i na konsystorzu 28 czerwca 1988 mianował kardynałem. Z urzędu kard. Canestri ustąpił w wieku prawie 77 lat - 20 kwietnia 1995. Jako kardynał nigdy nie wziął udziału w konklawe, gdyż 80 lat ukończył w 1998 r.

Obecnie, po śmierci kard. Canestriego Kolegium Kardynalskie liczy 222 członków, w tym 120 z prawami elektorskimi i 102, którzy nie mogą już uczestniczyć w konklawe. Wśród tych pierwszych 29 powołał do Kolegium papież-Polak, 60 – jego następca i 31 – Franciszek. A wśród 102 purpuratów nie mających praw wyborczych jest 2 mianowanych przez Pawła VI, 73 – przez Jana Pawła II, 19 – przez Benedykta XVI i 8 przez Franciszka. Najstarszymi wiekowo kardynałami są obecnie Włoch Loris Capovilla (ur. 14 X 1915), Kolumbijczyk José Pimiento Rodríguez (18 II 1919) i libański patriarcha maronicki Nasrallah Pierre Sfeir (15 V 1920), najmłodszymi zaś Tongańczyk Soane Patita Paini Mafi (ur. 19 XII 1961), Hindus Baselios C. Thottunkal z Kościoła syromalankarskiego (15 VI 1959) i Haitańczyk Chibly Langlois (29 XI 1958). Najdłuższy staż w Kolegium Kardynalskim ma Brazylijczyk Paulo Evaristo Arns OFM (14 IX 1921), mianowany kardynałem 5 III 1973. Ponadto należy pamiętać, że Benedykta XVI mianował kardynałem Paweł VI dnia 27 VI 1977 a Franciszka – św. Jan Paweł II w dniu 21 II 2001.